Ecuaciones

Las Ecuaciones I

¿Qué son las Ecuaciones?

Seguro que has oído hablar de ellas y te ha entrado una gran curiosidad, bueno, pues HOY vas a aprender a como resolverlas y resolver todo lo que te venga que ver con ellas, porque te servirán en la vida y en todo. Te estarás preguntando porqué hay una balanza arriba, bueno pues porque una ecuacion es una igualdad, quiere decir que la balanza siempre tiene que estar equilibrada. Ningún platillo puede estar mas arriba o mas abajo que el otro. En todas las ecuaciones debe haber por lo menos una ingógnita, es decir un número misterioso que nadie sabe cual es y generalmente se presenta con una letra, principalmente con la "x". Bueno, pues sigamos. Veamos que pasa si es que le ponemos elementos a la balanza.

Bueno, ahí vemos un pelota de futbol americano y una pelota de golf, y en el otro extremos vemos una pelota masomenos del mismo tamaño que las otras dos juntas (por eso es que esta equilibrado) esto quiere decir que, en este caso, tendríamos que averiguar cuanto pesa la pelota de futbol americano, la pelota de golf y, en el otro extremo, cuanto pesa la pelota normal. Estos tres elementos son incógnitas.

Todas las ecuaciones tienen dos miembros, en este caso, el primer miembro es la pelota de futbol americano y la pelota de golf. Y el segundo miembro seria la pelota normal. Entonces se vería así:

Pelota de Futbol Americano más Pelota de Golf  = Pelota Normal.

Pero vamos a ver una mas sencilla:

Entonces, primero veremos como lo podemos representar, lo que tenemos que averiguar es el valor de cada cereza. Sería:

Dos cerezas = 2 más 6

Pero verdaderamente como se ponen es así:

2x (Dos cerezas) = 8 (2 más 6)

2x = 8

Así es como representaríamos la ecuación de arriba. Pero, como recién empiezas a saber qué es una ecuaciín, vamos a resolverla utilizando la balanza. Primero aprenderemos el método igualdad que es un método un poco largo pero es para que logres entender porqué se le llama "igualdad". Entonces, la idea es dejar a la "x" (o sea a la incongnita sola) para saber cual es su peso. Entonces hacemos así:

Esta ecuación seria así:

2x (Dos cerezas) más 5 = Dos más 6

2x más 5 = 8

Como la idea es dejar a la "x" sola para saber su valor entonces lo que hacemos es "quitarle" ese "5" que no está permitiendo dejar ver su valor, PERO si le quitas 5 en un lado tambien le tienes que quitar 5 al otro lado ya que es una IGUALDAD  y ningun platillo puede estar mas arriba o mas abajo que otro. Entonces sería así:

Tacchamos el "5" y el "6". Sin embargo 6 - 5 = 1, entonces estaría sobrando uno. Así que la balanza quedaría así:

Entonces, aquí estamos viendo que las dos cerezas (no una sola) pesan 3 kilos. Es asi como se resuelve una ecuación en una balanza. Espero que ya hayas entendido por qué se le dice "igualdad". Bueno, pero uno no puede estar dibujando balanzas todo el tiempo. Así que ahora llegó la hora de hacer ecuaciones "de verdad" y ver como se resuelven:

Bueno, he aquí una ecuación. Ahora, esto sería así:

x + 7 = 12

x + 7 - 7 = 12 - 7

x = 12

Es así como se resuelve una ecuación con el "método igualdad". Lo que hemos hecho es quitarle ese "7" que está "molestando" a la "x", ya que la idea es dejarla sola. Pero, no te olvides que si le quitas a un lado, le quitas al otro porque es una "igualdad". Así que ahora te voy a tomar una pequeña evaluación: primero resolviendo ecuaciones con la balanza y otra sin la balanza. Claro, que serán fáciles.

Evaluación

Sin ver lo anterior, completa esta ecuación, SIN BALANZA:

x+ 32 = 44

x + 32 - __ = 44 - __

x = __

Te daré una pequeña ayudita, te lo pondré en una balanza:

Ahora completa el "enigma" de arriba:

x+ 32 = 44

x + 32 - __ = 44 - __

x = __

Si no sabes, puedes ayudarte el otro ejemplo, ahora, voy a darte la solución (pero antes aunque sea trata de resolverlo):

*******************************************************************

Solución:

x + 32 = 44

x + 32 - 32 = 44 - 32

x = 11

Pues bueno, es asi como se resuelve una operación, pero eso si es que solo hay UNA INCÓGNITA. Y no me confundan, quiero decir no es que yo diga: x+ y, si no 2x o 3x, o cosas así. En esos casos se resuleve de esta manera:

BALANZA:

En este caso la ecuación sería así:

2x (Dos manzanas) + 32 = 44

2x + 32 = 44

Este tipo de ecuaciones, en el método igualdad, se resuelven de la siguiente manera:

2x + 32 = 44

2x + 32 - 32 = 44 - 32

2x/ 2 = 11/2

x = 5.5

ADVERTENCIA: La rayita (/) significa que lo estamos dividiendo.

Bueno, pues te doy un secreto para que sepas como es esto. Si estamos sumando 2x + 32 entonces vamos a RESTAR 32, porque se resuelve una ecuación poniendo los signos contrarios:

SI SE SUMA SE RESTA/ SI SE RESTA SE SUMA

SI SE DIVIDE SE MULTIPLICA/ SI SE MULTIPLICA SE DIVIDE

Y así en todas las ocasiones, entonces en la anterior ecuación lo que hicimos fue dividir 11/2 y nos salió 5.5 (porque 11 es un número primo). Bueno, acá te dejo otros ejercicios para que vayas practicando:

a) 4x - 7 = 1

b) 2x + 9 = 20 (No te saldrá un resultado exacto)

c) 3x + 44 = 40 - 32

d) 13 + 2x = 84

e) 32 + x = 3x

Y aquí terminó "Ecuaciones I"

Ecuaciones II

Los Enunciados Verbales y Matemáticos

Bueno, pues ya sabes muchas cosas sobre las ecuaciones pero... ¿sabes que es un enunciado verbal ó un enunciado matemático?

a) Tania tiene algunos aviones de juguete, sus amigas le regalaron 13 y ahora tiene el doble de mariposas.

Expresión Matemática:  x + 13 = 2x (el doble de aviones de juguete)

b) Carla tiene algunas mariquitas, si caza otras 13 tendrá 32 mariquitas

Expresión Matemática: x + 16 = 32

Éstos son solo algunos de los ejemplos de una expresión verbal y una expresión matemática. Se podría decir que un "enunciado verbal" es un tipo de problema, mientras que una "expresión matemática" es su planteamiento. Los enunciados verbales son como ver la balanza, y las expresiones matemáticas son como poner la ecuación. Ahora que ya entiendes mejor esto, intenta rellenar este cuadro según corresponda, si tienes dudas de algo puedes volver a leer este texto.

Espero que lo hayas entendido bien. Y ahora, te voy a dar al "cofre de los secretos", quien te dirá algunos secretos que debes saber sobre los enunciados verbales para no equivocarte. Así que presta atención.

"Cofre de los Secretos"

Hay que fijarse muy bien a la hora de volver un enunciado verbal a una expresión matemática, pues es importante ver si es femenino o masculino, o si hay una coma o si no la hay.Y también viceversa. Pero seguro que no me entiendes asi que te lo demostraré con ejemplos simples y que siempre verás:

a) El doble de un número aumentado en 3 es 18

Expresión Matemática: 2 (x+3) = 18

b) El doble de un número, aumentado en 3 es 18

Expresión Matemática: 2x + 3 = 18

¿Ves la DIFERENCIA?

Pero como te dije también puede ser con "femenino" ó "masculino". En ese caso sería así:

a) El doble mi edad aumentadO en 3 es 18

Expresion Matemática: 2x + 3 = 18

b) El doble ded mi edad aumentadA en 3 es 18

Expresión Matemática: 2 (x+3) = 18

¿Ves aqui también la DIFERENCIA? En este caso yo he puesto (en la "a") aumentadO lo que significa que se refiere al DOBLE de mi edad, NO a mi edad msima porque uno no dice "el edad". Y en la "b" he puesto aumentadA y en este caso se refiere a mi edad porque uno no dice "la doble" en las matemáticas. Esto es bueno que lo sepas si es que cualquier cosa se te presenta, o algún inconveniente.

Ahora que ya has visto bastantes cosas, te toca hacer la evaluación. Así que repasa y nos veremos en "Ecuaciones III"

Evaluación

a) Completa la tabla:

b) Aplicando lo que te dijo el "Cofre de los Secretos" convierte estos enunciados en ecuaciones:

• El triple de la edad de Juana aumentada en 16 es 56.

Expresión Matemática: ___________________________

• El doble de la edad de Lucho aumentado en 36 es 78.

Expresión Matemática: _________________________________

• El doble de gatos aumentados en 4 es 39. 
•  Expresión Matemática:_____________________________________

Y con eso terminamos "Ecuaciones II"

Ecuaciones III

"Los Paréntesis"

Seguramente habrás visto ecuaciones igual a esta: 3(2x+5) - 3x + 60, y seguramente te estarás preguntando ¿cómo se resuelve? Bueno, pues HOY lo vas a aprender, ahora veamos un simple ejemplo:

3(2x+5) = 3x + 60

6x + 15 -15 = 3x + 60 - 15

6x -3x = 3x + 60 -3x

3x/3    =   60/3

x = 20

Pero, ¿Vaya revoloteo de números verdad? Bueno, primero te estarás preguntando el porqué del 6. Un paréntesis significa multioplicar, es decir en este caso lo que estamos haciendo es multiplicar 3 x 2x (que da igual a 6x) y 3 x 5 (que da igual a 15). Entonces abajo colocamos: 6x + 15 -15 = 3x + 60 - 15. Y a partir de ahí se va resolviendo de forma normal. Aquí te dejo algunos ejercicios con paréntesis para que practiques antes de la evaluación final:

a) 4(3x+5) = 2x + 34

b) 6(5x+8) = 4x + 90

c) 2(7x+9) = 3x + 84

d) 8(x+2) = 5x + 87

Bueno, ahora que ya has comprendido todo lo referente a los paréntesis y ecuaciones. Solo falta algo para que ya seas "el dios de las ecuaciones". Pues bueno, ahora solo falta que aprendas a resolver problemas con ecuaciones. Luego te tomaré la evaluación de paréntesis, y la de problemas de ecuaciones.

Ecuaciones IV

"Problemas con Ecuaciones" 

Problemas de Ecuaciones:

Para resolver un problema de ecuación sigues los siguientes pasos: datos (donde organizas todo lo que viene en el enunciado verbal), procedimiento (donde planteas la ecuación y la resuelves) y respuesta (donde ubicas la respuesta y la escribes). Ahora, te pondré un simple ejemplo:

a) Entre Carla y Juan comieron 15 mandarinas, Carla comió el doble que Juan ¿Cuántas mandarinas comió Juan?

Datos: Carla = 2x |  Juan = x |  Ecuación: 2x + x = 15

Procedimiento:

2x + x = 15

3x/ 3 = 15/ 3

x = 5

Respuesta: Juan comió 5 mandarinas

Aquí ves lo que te acabo de explicar. Es, como ves, muy sencillo. ¿Por Qué no lo intentas tú?

b) La edad de María es un décimo la de su papá. Si su papá tiene 30 años, ¿cuántos años tendrá María?

Datos: Marta = x | Papá = x/10

Procedimiento:

Respuesta:

Aquí te dejo otros:

c) El conejo Pinocho tuvo cuatro veces más conejos que sus padres y su hijo tuvo tres veces más hijos que Pinocho. Si el hijo de Pinocho tuvo 96 conejos. ¿Cuántos tuvo su papá, es decir, Pinocho?

Datos:

Procedimiento:

Respuesta:

Bueno, pues ahora que ya sabes como resolver problemas, solo falta enseñarte, en "Ecuaciones V" la otra forma de resolver ecuaciones, la forma abreviada. !Así que presta atención!

"Ecuaciones V"

"Forma Abreviada"

Ahora que ya has visto como se resuelve una ecuación con el "método igualdad" nos toca ver como se resuelve una ecuación con la "forma abreviada" o "transpocisión de miembros". Este tipo de resolución es más rápida que la otra así que tal vez te venga mejor. Te pondré un ejemplo de una ecuación resuelta con el "metodo igualdad" y otra con "la forma abreviada":

Método Abreviado                                                                                  

                                                                                                                      

4x - 35 = 10 + x                                                                                           

3x = 45

x = 45/3

x = 15

Método Igualdad                                                         

4x - 35 = 10 +x

4x - 35 + 35 = 10 + x + 35

4x - x = 45 + x - x

3x/3 = 45/3

x = 15

 Como ves el "método abreviado" es más corto. Si es que ya lo has entendido, resuelve las siguientes ecuaciones con el método abreviado:

a) 2x + 6 = x + 10

b) 14x - 15 = 11x

c) 6x - x = 21 + 2x

Ahora, vamos a ver exactamente como es el método abreviado: La idea del método abreviado es "trasladar" las "x" a un lado y los números al otro, si en un lado hay más "x" estas se quedan allí y se trasladan con el otro lado, y se pasan al otro lado sumando o restando, o multiplicando o dividiendo.

Espero que ahora ya lo hayas entendido. Y como en toda clase haremos una evaluación de lo recogido en todo lo que hemos estado haciendo a lo largo de "las ecuaciones". !Así que a PREPRARSE!

Ecuaciones VI

"Evaluación Final"

1) Resuelve estas dos ecuaciones con los dos métodos aprendidos:

a) 4x - 35 = 10 - x                                                                b) 3x + 8 = 2x + 28

2) Inventa, creativamente, un enunciado verbal para cada expresión matemática:

a) 8x + 6 = 89 : _____________________________________________

b) 9 + 6x = 32 : _____________________________________________

c) 45 = 3x + 36 : ____________________________________________

3) A partir de la siguiente expresión matemática, dibuja en cada platillo de la balanza, la ecuación:

3x + 9 = 43

4) Ahora, resuelve, los siguientes problemas con el procedimiento adecuado:

a) La ciudad de Arequipa tiene  el cuádruple de habitantes que Ica. Si la población de Ica es de 200 000 ¿Cuánta será la población de Arequipa?

Datos:

Procedimiento:

Respuesta: 

b) Tengo que comprar varios galones pintura, para pintar mi casa. Para el primer piso necesito cuatro galones, para el segundo piso necesito el triple de galones, y para el tercer piso la mitad de galones que para el segundo. ¿Cuántos Galones necesito en total?

Datos:

Procedimiento:

Respuesta:

Revisa bien las respuestas y luego ve las soluciones. POR FAVOR SÉ HONESTO.

Fracciones

Fracciones I

La fracción (número quebrado) es la unidad dividida en partes iguales. Hay varios tipos de fracciones en las que se encuentran las siguientes: 

• Fracciones Equivalentes : Fracciones que reresentan la misma cantidad. Ejemplo:

         2/4 = 4/8 

• Fracciones Homogéneas: Son las fracciones que tienen el mismo denominador Ejemplo:

        6/9 y 7/9 

• Fracciones Heterogéneas: Son las fracciones que tienen diferente denominador. Ejemplo:

       6/10 y 5/7 

• Fracciones Inpropias: Fracciones mayores a la unidad/ El numerador es mayor que el denomiandor.Ejemplo: 

       7/6 y 8/5

• Fracciones Propias: Fracciones menores a la unidad /El numerador es menor que el denominador. Ejemplo:

      1/2 y 3/4

• Fracciones Iguales a la Unidad. Ejemplo:

      2/2 y 6/6

1) Empecemos viendo algunos ejemplos de fracciones sencillas para que vallas aprendiendo:

 3/4 

       

5/8

4/8

4/9

Cómo verás estas fracciones son muy sencillas ero OJO es importante que todos los cuadraditos sean del mismo tamaño ya que una fracción SIEMRE tiene que estar dividida en partes iguales.

¿Cómo representar una fracción inpropia si es mayor a la unidad?

Tal vez te hayas preguntado esto alguna vez... es cierto no suena muy fácil, sin embargo lo es... Una fracción inpropia se reresenta de la siguiente manera:

Tomemos como ejemplo a 7/6... ¿cómo lo representamos? Simple, hacemos esto:

   1) Primero dibujamos un cuadrado de seis cuadraditos.

   2) Luego, tenemos que pintar siete cuadraditos ¿verdad? Pero... no alcanzan, entonces pintamos seis          cuadraditos en el rectángulo y dibujamos otro rectángulo a parte y entonces en el otro rectángulo terminamosde pintar lo que falta: un cuadradito... 6 + 1 = 7, entonces es así como se representa una fracción inpropia: cuando las unidades no te alcanzan simplemente dibujas otra igual y completas con lo que te faltaba. ¿Sencillo verdad?

2) COMPARACIÓN DE FRACCIONES:

Hay muchas maneras de comprobar cuales fracciones son equivalentes y cuales no. Aquí aprenderemos todas. Empezaremos con la manera a la que llamo "visual"

  a) MANERA VISUAL

Observemos detenidamente estas dos tiras. La verde esta dividida en cuatro partes mientras que la rosa esta dividida en ocho partes (el doble de cuatro). Veremos: 1/4 = 2/8 porque 1x2 = 2 y 4x2 = 8 entonces son equivalentes se me hace que no me has entendido ¿verdad? bueno entonces probaremos con otra fraccion equivalente que hay en estas dos tiras: 2/4 y 4/8 porque 2x2 = 4 y 4x2 = 8 !SIMPLE! Veremos con otra fracción equivalente: 3/4 y 6/8 si te das cuenta el denominador (el que esta en negrita) es el doble e igual sucede con el numerador tambien es el doble. 3/4 representa lo mismo que 6/8 solo que 6/8 esta dividido en mas partes pero al final es lo mismo.Te pondré un ejemplo con 2/4 y 4/8. Observa:

En estas dos figuras he pintado exactamente lo mismo solo que en la de derecha esta dividida en más partes. Cuando estan así se dicen que son fracciones equivalentes porque representan lo mismo. Espero que lo hayas entendido. Te dejo otro ejemplo:

Y ahora veremos la forma "práctica" de ver cuando son fracciones equivalentes. 

3) MANERA PRÁCTICA:

Otra forma de saber si dos fracciones son equivalentes o no es multiplicando en cruz. Asi: 

Cómo 16 = 16 2/4 y 4/8 son EQUIVALENTES. Solo hemos multiplicado en cruz: 2 x 8 = 16 y 4 x 4 = 16. Inténtalo con estas fracciones:

a) 2/ 3 y 4/6 ---> 

b) 2/3 y 3/6 --->

c) 4/9 y 8/6 ---> 

d) PROBLEMAS:

• Juan tomó 275 de un vaso de vino y Alfredo 1/3 de u vaso del mismo tamaño ¿Quien tomó más?
• Aarón, Fedele y Joaquín conducen por una carretera, Aarón maneja 11/24 del camino, Fedele 7/15 y Joaquín 3/40 ¿Cuál de los 3 maneja más? ¿ Quien manejó menos? 

4) SIMPLIFICANDO Y AMPLIANDO

Seguramente te habrás encontrado con las abominables fracciones gigantes pero para ti hay una solución: volverlas pequeñitas pero... ¿cómo hacerlo? Pues simplificándolas. Sí, pero ¿cómo las simplifico? Pues así:

!Tranquilo! Es más sencillo de lo que parece. Para simplificar una fracción solamente debes dividir el numerador y el denominador por un mismo número. Tomemos de ejemplo a 12/28. 

12 entre 2 = 6 ------  28 entre 2 = 14 pero... 6/14 aún se puede dividir entre 2 así que volvemos a hacerlo.

6 entre 2 = 3 -------- 14 entre 2 = 7 y hemos hallado la respuesta porque 3/7 es una fracción que no se puede reducir (es irreducible como dice en la imagen) ya que 7 es número primo. Pero OJO no siempre tenemos que dividir entre 2 también podemos dividir entre 3, 6, 3 , 5 hasta el 12, en realidad entre todos los números habidos y por haber. Así que si has entendido simplifica las siguientes fracciones hasta que se vuelvan a fracciones irreducibles:

a) 14/30 

b) 8/60

c) 2/60 

Aunque no lo creas también se puede hacer todo lo contrario: ampliar. ¿Cómo ampliamos? De la misma manera solo que en vez de dividir se multiplica. Así:

Las dos únicas diferencias entre ampliar y simplificar son estas:

• Cuando simplificamos dividimos los números cuando ampliamos los multiplicamos
• En la simplificación hay un fin (la fracción irreducible) en la ampliación podemos seguir hasta el infinito. 

Pero coinciden en que el denominador y el numerador deben ser multiplicados/divididos siempre por el mismo número y los dos juntos. Espero que lo hayas entendido, 

5) OPERACIONES CON NÚMEROS FRACCIONARIOS

a) Suma de Fracciones Homogéneas: Con estas fracciones es muy fácil sumarlas porque los denominadores son iguales asi que solo hay que sumar los numeradores. Así:

b) Suma de Fracciones Hetereogéneas: Con estas fracciones es un poco más difícil sumarlas ya que los denominadores son diferentes y tienes que homogeneizarlos sacándoles el mínimo común múltiplo. Pero... ¿cómo los homogeneizo?  Pues así (puedes ampliarlo para verlo mejor haciendo click en la imagen):

Pasos para sumar las fracciones heterogéneas:

1) Primero sacamos el MCM de los denominadores (3 y 9) que en este caso es 9 y entonces ponemos los denominadores como el "9"

2) Luego tenemos que convertir, asi como convertimos al 3 y 9 al MCM, a los numeradores. ¿Cómo? Es algo complejo de explicar pero al final sencillo hacemos esto: Tomemos al primer denomiandor o sea al tres y entonces vemos a 3 por cual número lo podemos multiplicar para que nos dé 9 (ya que nueve es el MCM) POR EL 3 ya que 3 x 3 = 9 entonces multiplicamos al numerador que esta arriba (en esta caso el 2) lo multiplicamos por el 3 (3 x 2 = 6) Entonces ponemos el 6 como el primer numerador (ayúdate de los números rojos de la imagen) Luego tomemos el segundo denomiandor osea el 9 y entonces vemos... a nueve ¿por cual número lo podemos multiplicar para que me dé nueve? Por 1 (ya que 9 x 1 = 9) entonces multiplicamos por uno al numerador que está justo arriba (en este caso el 5) 5 x 1 = 5 entonces colocamos al 5 como segundo numerador.

3) Simplemente sumamos de manera normal ya que los denomiandores ya están homogeneizados (iguales)

6) FRACCIONES MIXTAS

Las fracciones mixtas son fracciones, que como su mismo nombre lo dice, son mixtas, es decir, tienen números enteros (unidades y números quebrados (fracciones). Veremos aquí como resolver operaciones con fracciones mixtas mediante gráficos para que lo entiendas mejor. Empecemos con una operación sencilla:

a) 7 - 2/5  = ?

  1) Primero hacemos 7 cuadrados:

  2) Luego dividimos los 7 cuadrados en 5 cuadraditos:

  3) Después pintamos los 7 cuadrados

  4) Luego le restamos los 2/5, osea tachas dos cuadradito de uno de los 7 cuadrados, así:

  5) Luego cuentas las unidades que están completas (osea las que están totalmente verdes y no tienen nada tachado), en este caso son 6 

  6) Luego cuentas de la unidad a la que le has quitado los 2/5 cuantos cuadraditos verdes le quedan, que en este caso son 3, ¿3 de cuantos cuadraditos? de 5 entonces se pone así 3/5

 7) La respuesta sería 6  3/5

¿Entendiste? Por si no hubieras entendido te dejo una operación ya resuelta. Pongamos como ejemplo:

b) 5 - 1/4 = ?

Primero, pones los cuadraditos a los cuales les vas a restar 1/4,  (en este caso 5) Luego divides esas unidades en el denominador de la fracción (en este caso en 4). Luego les restas 1/4 (o sea tachas uno de uno de los 5 cuadrados) Después cuentas cuántas unidades están totalemnte naranjas (o del color que las hayas pintado)... (en este caso 4) Entonces pones en el papel: 4 

Por último cuentas, en la unidad que le has restado (que tiene partes amarillas, en este caso la primera) cuántos cuadraditos están naranjas (en este caso 3) ¿3 de cuantos cuadraditos? De 4 Entonces la respuesta sería así:

4  3/4*

*Por si aún no hubieras entendido mira el video que pronto ondré para resolver fracciones mixtas con gráficos que saldrá pronto en el blog. 

!Te toca a tí!

Ahora que ya sabes como resolver estas fracciones te dejo que resuelvas éstas 3 que te voy a dejar (las soluciones estánen la página "Soluciones). Ahora resuélvelas y luego compáralas:

 a) 6 - 1  3/5 

b) 8 - 3/4

c) 9  1/4 - 1/4

Por favor: Antes de ver las soluciones inténtalo! TÚ PUEDES